1983年新加坡首次引入建模理論，2006年“應用與建模”被列入新加坡中小學數學教學大綱。因爲近幾年新加坡數學教育在TIMSS和PISA的優秀表現，建模法備受國內外教育界的廣泛關注。這一段時間，我們詳細講解了建模法的知識，不知道大家理解的怎麽樣？本質上說，用圖形法解題能讓孩子們更直觀地找到不同變量之間的數學關系。操作上也簡單實用，很容易上手。這裏，我們進一步和大家分析，在使用模型法時，應該注意到的幾個難點：
1，畫精確的模型圖
在用模型法解答數學應用題時，難點在于畫出一個精確的數學模型。這裏的精確不是指嚴格的比例縮放，而是孩子們畫出的模型圖應該足夠好，能幫助他們推斷出已知量和未知量之間有用的數量關系。可以這樣說，如果孩子們能畫出一個比較精確的模型，說明他們已經理解了這個問題。
例1：A的年齡是B年齡的1/4。5年後，A的年齡是B年齡的1/3。請問，A現在多大？
解答：首先以A的年齡長度（A的箱子）爲基准，分別畫出現在和五年後，A和B兩人的年齡比例關系：
現在：
五年後：
然後，對B的模型重新排列：
利用現在的模型，我們在B模型基礎上加5，得到B五年後的另外一個模型表示：
通過比較B的兩個模型，我們知道：
所以A的年齡是10歲。
需要注意到的是，兩個五年後B的模型長度是不一樣的，盡管實際上它們是一樣的值。
類似這種情況，我們在畫模型比較的過程中會經常遇到。因爲用于表示A箱子的初始長度和表示年齡“5”的箱子長度關系未知，從圖中看出，我們要加長箱子的長度（等于10年的長度），這樣B的兩個模型長度就會一致。因此，在稿紙上的思考過程完成後，我們需要對模型做一定的改進。
例2：Devi和Minah總共有520元。如果Devi花掉她錢的2/5，Minah花掉40元，他們將剩一樣多的錢。請問，Devi有多少錢？
解析：根據已知條件畫模型圖
把Minah的模型也分成3份，
8個箱子 —–> 520 – 40 = 480
1個箱子 —–> 480 ÷ 8 = 60
Devi的錢 —–> 5 × 60 =300
在模型中，我們一開始假設一個單元（箱子）的長度比表示“40元”的箱子長度短，但計算得到一個箱子表示60元，所以，我們要把表示40的箱子縮短。
例3：A，B，C，D四個人每個月掙得錢一樣多。A花的錢是B花的錢的3倍，B存的錢是A存的錢的2倍。D花的錢是C花的錢的2倍，D存的錢是C存的3倍。找到B存的錢和D存的錢的比例關系。首先，畫出A和B的關系（深色表示花錢，白色表示存錢）
可以進一步對A和B的關系做一個分割
然後，畫出C和D的模型關系
進一步對C和D的模型做分割
因爲，A，B，C，D四個人每個月掙的錢一樣，而且，從分析中看到，他們的錢都是可以平均分成5份的，所以，A，B，C，D模型中最小的箱子是應該一樣長的，聯合可以得到下面的模型
所以，B和D的存錢比例關系是 4 ：1
總結：在指導孩子們的時候，需要讓他們知道，繪制一個更加精確的模型通常是一個複雜的過程；在一個有用的模型完成之前，可能需要在稿紙上多次繪制，來細化和糾正。
2，模型圖的分割
在遇到數學應用題，尤其是比例問題，需要把箱子劃分成更小的單元時，孩子們往往束手無策。模型圖的分割是另外一個難點，我們來看兩個例題。
例4：Sam和Jane有郵票的數量比例是7：8。Jane給了Sam 200張郵票之後，他們郵票的比例變成了11：4。請問，兩人一共有多少張郵票？
首先，我們看到題目中的7：8和11：4，兩個人郵票的總和在變化前後是恒定不變的（恒定總量問題），變化前後都是分成15等分，因此變化前後的最小單元（箱子）是一樣長的。模型如下：
4個箱子 —–> 200張
1個箱子 —–> 50張
總共15個箱子 —–> 15× 50 = 750 張。
我們鼓勵孩子們對框圖做具體分割來推導變量之間的數量關系，這樣做往往立馬能夠得到答案。當要分割太多份時，我們也應該幫助他們慢慢脫離依賴一個大數值的分割，因爲過分強調把一個框圖分割成很多部分，常常會讓我們的思考過程短路。要從一個模型的各個部分提取出更深層次的關系，我們的思考過程是至關重要的。
有一種方法可以幫助孩子們減少對具體分割的依賴性，那就是在我們設置的問題中使用相對較大的數字，把方框圖具體分割變得難以操作。當不做具體分割時，我們怎麽解答題目呢？用下面這個例題我們仔細體會一下。
例5：有兩包糖A和B。A和B的質量比是4：1。如果從A中拿10g放入B，A和B的質量比變成了7：5。請問，兩包糖總共多重？
解析：變化前後，A和B的總質量一定，變化前總共分成了5份，變化後總共分成了12份。最小份數要取12和5的最小公倍數60。所以，
變化前：A和B的比例可以寫成48：12
變化後：A和B的比例可以寫成35：25
A的份數減少了13，而由已知A少了10g
因此，
13個單元 —-> 10 g，
1個單元 —-> 10/13 g，
兩包糖總共60個單元 —-> 600/13 g。3，重視一題多解在數學學習過程中，一定要培養孩子們養成多思考、勤動手的好習慣。在分析一道題目時，家長要引導他們多想想是否有更好的解題方法，並讓他們對不同的方法親自動手體會優缺點，這樣做能讓孩子的數學思維更加敏銳，也能增加他們對數學的興趣。
我們一起來看看這道年齡問題：例6：兩年前，他的年齡是他兒子的7倍；三年後，他的年齡是他兒子的4倍。請問，現在他倆的年齡分別多大？
解法1：
兩年前：
3年後：
對（2）重新排列，並且和（1）比較：
因此，
1個單元 —–> 5歲,
兒子年齡—–> 5 + 2 = 7歲,
父親年齡—–> 5 × 7 + 2 = 37歲。
解法2：
解析：運用前面講過的“恒定差值”問題解法。
2年前：
三年後：
6個單元等于3個單元加15歲
3個單元 —–> 15歲,
1個單元 —–> 5歲,
兒子年齡 —–> 5 + 2 = 7歲，
父親年齡 —–> 5 × 7 + 2 = 37歲。
解法3：
2年前：
3年後：
從差值來看，1個灰色的箱子等于2個白色的箱子，
1個灰色的箱子 = 1個白色箱子 + 5歲。
所以，1個白色箱子表示5歲。
至此，建模法基本講解完畢。如果大家還有不明白的地方和數學問題，可以後台聯系作者。之後，我們會推出“珠心算”系列的內容分享，敬請期待。