存在無窮維的空間嗎？

我們生活的宇宙到底是幾維的？相信很多人都關注過這個問題。中學學立體幾何時我們知道，就觸覺所能感知到的空間而言，它是三維的。因此當我們要定位空間中一點的時候，需要使用三維坐標系，即由x軸、y軸，z軸三個坐標軸組成的坐標系。

本世紀初，隨著愛因斯坦相對論的提出，人們開始關注時間在我們這個宇宙中的度量作用。由德國數學家闵可夫斯基提出了所謂的時空的概念，將時間納入到宇宙的維度當中，于是我們的宇宙就變成了四個維度——xyz再加一個時間軸，這就是我們熟悉的四維空間的概念。

那麽，在這四個維度之外還有沒有其它的維度？物理學家曾提出“超弦理論”，認爲宇宙總共有10個維度，但是其中6個維度是蜷曲在普朗克長度之下的，因此我們感知不到。後來又提出M理論，將宇宙空間擴展爲11維。

但無論如何，上面的理論都缺乏有力的證據。其實別說10維或者11維，就人類目前能理解和感知到的，僅僅是4維空間，4維以上的空間，我們連想象都無法想象。

物理學上關于維度的理論都要受限于現實世界，但是數學則不用管這麽多，數學家們可以在邏輯自洽的前提下任意構造空間。事實上，在數學中存在著任意維度的空間，100維，10000維，只要需要，我們都可以構造出來。隨著上世紀70年代“分形理論”的提出，甚至存在著非整數維的圖形，比如2.5維這樣怪異的空間。當然更讓人不可理解的，可能就是所謂的“無窮維空間”。

那麽什麽是無窮維空間呢？維度難道還可以是無窮嗎？要理解這些問題，就首先要弄清楚“維度”是什麽意思。這就需要一點點線性代數的知識(如果你大學學過線性代數，那麽下面的相應部分就可以完全忽略不看)。

首先拿最簡單的二維平面舉例子，我們把它看成所有的二維向量的集合。高中時學過的平面向量基本定理告訴我們：有兩個向量

平面上任何一個向量都可以被i和j來表示，例如〈3，2〉

但是i和j又不能相互表示，所以我們把i和j稱爲平面向量的一組基。

同樣道理，對于三維空間，它的一組基就是

因爲三維空間中任何一個向量都可以被i，j，k表示，但它們之間不能互相表示。

以此類推，我們可以這樣定義“維度”的概念，通俗來講，一個集合中如果存在某些個元素，使得集合中的每一個元素都能被這些元素所表示，同時這些元素之間又不能相互表示，那麽就稱這些元素爲這個集合的一組基。一組集中包含的元素的個數就稱爲這個集合的維度。

因此我們就可以構造任意維度的空間，比如我想構造一個五維空間，可以做集合

它是由所有5維向量組成的集合，于是整個空間就是5維的，因爲它的一組基是：

但是寫到這裏很多讀者可能就發現了，通過這種方式構造出來的集合，維度都是有限的，那怎樣的集合維度是無窮的呢？

通過對維度的定義可以看出，要想找到一個維度爲無窮的集合，只要找到一個集合使它的一組基包含無窮多個元素。通過上面構造多維空間的例子，一個很自然的想法，就是所有的無窮數列構成一個集合，那麽它的一組基就是

可以看到這組基裏邊包含無窮多個東西，所以由所有數列構成的集合，它的維度就是無窮。

但是這個例子有點太平凡了，人工構造的痕迹很明顯，那麽有沒有更加有具體意義的無窮維集合呢，當然是有的。比如，由所有的一元多項式構成的集合，它的一組基就是：

這是因爲，任何一個一元多項式都可以表示成上面一組式子中若幹個的添加系數及加減組合的形式。但是這一組式子之間又不可能通過這種方法互相表示出來。所以很顯然，這個集合也是無窮維的。

我們在高等數學裏邊都會學到傅裏葉級數：

所有這樣收斂的函數構成一個集合，它的一組基就是

顯然這也是無窮多個元素，因此這個集合的維度也是無窮。

除此之外，還有物理學中經常使用的希爾伯特空間。20世紀初德國大數學家希爾伯特從研究微分方程出發，建立了一類無窮維空間，現在稱爲希爾伯特空間。它實際上就是把向量的概念往無窮維加以推廣。在希爾伯特的空間中，我們同樣可以定義長度，距離，夾角等幾何量，于是我們就建立起了無窮維空間中的幾何學。

若該集合關于內積是完備的，則稱爲希爾伯特空間，希爾伯特空間是泛函分析重要的研究對象之一。

好了，上面講了這麽多，但其實我們可以發現，無窮維空間甚至高維空間都只是存在于數學理論中，它在現實生活中並不能找到實際對應物。這也是數學與物理之間最大的區別之一。