潔文老師工作室：用身邊的真實案例解讀教育

歐美留學爸媽，資深教育工作者養娃育兒的親身體驗；

他們見證學生從哈佛、耶魯，到清華、北大；

有錄取藤校的歡欣，也有留學退學的失落；

這裏全是一個個真實的案例，解讀與分享國際化教育的點點滴滴。

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我們今天主要介紹新加坡小學數學基礎教育的特色方式：”繪圖模型”（Model Drawing）法

整個東亞圈文化，都有應試教育文化。從日本到韓國，中國、新加坡、印度等等，幾乎逃脫不了應試教育的影響。新加坡的應試教育導向也非常明顯，來到新加坡後，寶爸看到很多當地政府小學的學生，也看了很多小學的教材和教輔。他們學生的辛苦程度，尤其是好學生的辛苦程度，和中國相比有過之而無不及。在優秀學生的程度水平上，同年級的平均水平和內容難度是超過中國的。

但是新加坡在應試的基礎上，又吸收了很多西方的教育思想和教育理念。比如說對數學計算過程的追求，體現了新加坡對學生數學思想的要求。用應試的方式將這種能力固定下來，從小學開始，計算步驟過程就是考試的取分點。選擇題、填空題的比例相對要少于中國。數學考試的應用題，小學科學考試的文字回答和敘述題，比例非常之高。

新加坡小學一年級數學練習冊中的數學題，需要文字回答並解釋。

有人曾經用一句話總結新加坡的”中西合璧”：骨子裏是東方人的學習風格，又接軌了西方的語言和學習方式，全英文，難度高于英美，和中國更接近。

與生活結合的數學思維

新加坡小學數學教育的明顯特征就是形象化，生活化，這與它的教育部整個教育理念體系是密不可分的。小學四大主課：英文、母語、數學、科學，都是建立在所學知識與生活的關聯和應用之上。

在新加坡，老師鼓勵學生用畫圖、工具等任何方式來解題。在扳手指、畫圖、做統計等等這樣的活動過程之中，學習到的是解決實際問題的思維方法，而不只局限于解答具體的題目。

老師的評估過程，也不只關注學生的答案，而是看學生如何用數學思維得出答案的過程。學生思維的邏輯性、連貫度，缜密程度，是否對數據支撐研究的概念，是否能找到問題的變量和核心突破口，做出了哪些假設並驗證等等。

在課堂上學習柱狀圖統計調查

這是典型的探究式學習能力，也是21世紀大多數先進的課程系統（如IB課程）所推崇的教育方式。答案不是目標，追求答案的過程，是學生最大的收獲。未來不是靠誰知道的知識多而取勝，電腦的記憶力和存儲比人厲害無數倍。未來的學生，需要的是從未知的問題，分析、綜合、應用、創造得到結果的能力。

CPA教學法

新加坡有個特色的”三步教學法”，也叫”CPA教學法”。這種教學方法，由美國教育心理學家、認知心理學家Jerome Bruner在60年代最先提出。他經過觀察發現，小孩子的學習，往往會經曆三個階段，分別是：

• C – Concrete 具象化

• P – Pictorial 形象化

• A – Abstract 抽象化

具象化就是我們數學啓蒙的時候經常用實實在在的東西舉例子，三個蘋果，五個梨子，建立起最初的加減法等初步概念。

之後就可以進入到形象化階段。形象化也是用圖像來學習，但是圖像一般會用通用的圓圈啊，方塊啊，星星之類的來替。形象化這個過程是孩子們建立起現實世界和抽象世界連接的中間橋梁。他們會感知到用一些圖形形象來代替實物的感受。

最後進入數字的抽象化學習。這個過程雖然看起來緩慢，但讓孩子們更加容易理解。下面的這張圖就清晰地展示了這個過程。

新加坡的數學基礎教育的最大特點，就是放大了”P-形象化”這個過程，CPA教學法，三步中的第二步（pictorial，形象化），新加坡就叫”Model Drawing”（繪圖模型法）。

繪圖模型法的兩個核心概念

在繪圖模型（Model Drawing）法中，基本上有兩個概念構成了所有進一步叠代的基礎。

部分和整體的概念

在這個概念中，孩子從理解部件之間的關系開始。一旦理解，他們可以用矩形塊來表示這些關系來模擬數學問題。

讓我們來看一個例子，以更好地理解零件整體概念如何工作。在下圖中，孩子開始學習如何添加單個球來理解3 +2 = 5的簡單加法問題。在這個階段，使用像球這樣的真實圖像來讓孩子連接點是很重要的。

一旦孩子了解了上述情況，我們可以拿出球並使用塊作爲表示。以下是如何繪制圖像。一旦孩子接受這些塊作爲表示，他或她將處于理解進一步抽象的好位置。

在上述之後，我們可以更進一步，以更抽象的詞語形象化問題。在這裏，我們不需要單獨的塊。相反，只是3和2之間的視覺差異足以表示塊之間的關系。

總之，這種方法利用各部分之間的關系讓兒童了解整體情況。

改變的概念

變化概念幫助孩子理解加減概念。我們來看一個減法的例子。在下面的例子中，我們教孩子如何從3減1，即3-1 = 2。再次，我們通過使用逼真的對象開始數學模型。

一旦孩子與減去相似，我們可以繼續使用更抽象的表示。在這一步中，我們用塊替換對象。

在最後一步中，用較大的塊替換單個塊。這爲未來所有問題奠定了基礎，在這些問題中，孩子可以使用更大的塊來呈現可以增加或減少的項目。

這將幫助您的孩子看到問題總和問題的變化答案。

基本模型的應用

看起來是不是很簡單？說實話，我們剛開始接觸也感覺這個我們自己也能教啊，我們自己做題有時候也用這個方法啊。但是如果要我們堅持讓孩子們每一個題目都想辦法用Model Drawing來做，我們可能也會感覺沒有必要，太繁瑣了。

這就是東方思維和西方思維的差異體現之一。東方人喜歡掌握技巧，並在掌握之後研究更多其他方法繼續提高效率。而西方人腦筋都比較”直”，喜歡一根筋一直研究一個方法到極致。大家如果看過西方的教科書或者我們前面提到的新加坡的練習冊就知道，他們都是把讀者當成”傻子”來對待的。讓每個人都能有通過書自學的能力。

在熟悉了上面的基本模型後，繼續使用它們來解決不同類型的數學問題。

分數

分數可以用部分整體概念表示。

“彼得正在賣鉛筆。他在早上賣掉了3/5，其余的在下午賣掉了1/4。如果彼得在早上比下午多出售200支鉛筆，彼得一開始有多少支鉛筆？”

爲了解決這個問題，我們將使用部分整體概念來繪制下面的數學模型。首先，畫出5個相同的塊並將其中的3個代表3/5。

第一步：彼得早上賣掉了3/5的鉛筆

接下來，將無陰影部分分成4部分，用其他顔色遮蓋其中一部分，以顯示其余部分的1/4

第二步：彼得在下午賣掉了剩余的四分之一

第三步是通過將1個紅色陰影框切成2來使所有方框相等，如下所示。

第3步：使所有的箱子大小相同

第四步是計算每個盒子代表多少支鉛筆。問題是，早上還有200支鉛筆正在銷售。在這種情況下，200等于5個紅色框，因爲早上還有5個陰影框。所以，每個盒子= 200/5 = 40。

第4步：計算每個盒子代表的鉛筆數量

最後一步是計算鉛筆的總數。由于共有10個盒子，問題的答案是40 * 10 = 400鉛筆。最終的數學模型將如下所示：

第5步：計算鉛筆總數

比率

對于學習比率，您可以使用零件整體概念或更改概念。在這裏的例子中，我們將使用更改概念。

“艾米和凱倫的錢的比例是5：3。艾米花了她一半的錢後，她的收入比克倫少了15元。兩個女孩在一開始的總金額是多少？”

第一步是繪制比率。

步驟1：艾米和凱倫的錢的比例是5：3

下一步是在艾米花掉她的一半錢後畫出圖表。

第2步：艾米花了她的一半錢後艾米和凱倫的錢的比例

第三步是遮蔽代表艾米和凱倫錢之間區別的區塊。

步驟3：遮蔽代表兩個女孩之間錢差異的塊

這個問題告訴我們，黑色陰影塊=兩個女孩的錢差額= 15元。換句話說，我們現在知道1/2塊= 15元。因此，1塊= 30元。這可以從下面的圖片中看出。

第4步：找到每個塊的值

最後一步是計算兩個女孩在開始時的總金額。從第一步開始，我們知道共有8個街區。所以答案是8 * 30元= 240元。

小數

讓我們通過最後一個問題總和來看看如何使用小數的數學模型。

“瑪麗在購物前有15美元。買了5個相同的鉛筆盒後，她只剩下9美元。每個鉛筆盒花費多少錢？”

這個問題具有前後時間的概念，因此適合使用變更概念。

步驟1：瑪麗購物前購物滿$ 15，購物滿$ 9

下一步是顯示前後之間的差異可以用5個方塊來表示（以說明5個鉛筆盒）

第2步：將筆盒代表5個塊

問題告訴我們5個鉛筆盒是相同的。因此，要找到一個鉛筆盒的價格，我們只需要考慮前後的差價，即15元-9元= 6元，然後再除以5個鉛筆盒。這給我們$ 6/5 = $ 1.2。這可以由下面的最終數學模型來表示。

第3步：計算1個筆盒的成本

中國數學教育有這個方法嗎？

當然有！

畢竟中國的數學水平還是挺高的，每年在IMO國際數學競賽也是領頭羊，再加上十幾億人選拔，什麽題目和方法我們沒有見過。

只不過中國太大了，學生太多了。不像新加坡這樣可以強勢、集中的推行一種模式和方法。其實圖形解題的方法在中國的數學教育中一直有存在，只是沒有賦予它這麽高的地位和持續性的要求。把它作爲N多種解題方法之一而已，讓我們的感受就沒有這麽強烈。

“玩轉數學思維”曾經也討論過這個問題，爲什麽圖形解題的思路方法現在似乎看到的比較少了。得出的結論是這部分內容很多都轉移到奧數學習班教授了，可能這也是減負的代價之一吧？

截屏自數學群的討論

小學生還處于認知發展的具體運算階段，說白了就是形象思維發達而抽象邏輯思維還未形成。Model Drawing的形象性，不僅能解題，還提高了學生思維邏輯和解決問題的能力。

爲什麽我們的小學數學教育會丟掉了這麽有用的武器？然後這些被學校”遺忘”的內容讓商業機構去操作？值得我們深思。

潔文老師工作室