如果想要生活在三維空間的人理解四維空間，必須運用的工具就是”類推法“和”投影法“。所以在正式進入四維空間前，我們先了解一下這兩個工具。因爲如果不理解這兩個工具，就無法去想象四維空間，所以即使花一些時間提前了解一下，我覺得也是必要的。
類推法和投影法
1 類推法
因爲我們生活在三維空間，想要憑空想象根本不存在的四維空間幾乎是不可能的。但我們可以假設身處二維空間，想象看到的三維空間是什麽樣子（事實上，我們本身就處于三維空間，所以根本無需想象，就能夠建立二維空間和三維空間的聯系）。然後通過二維空間和三維空間的關系，從而類推出身處在三維空間如何想象四維空間。
打一個比較通俗的例子，我想知道在四維空間中的兩個點的距離是多少？雖然代數上有明確的定義，但由于我們無法直觀想象四維空間，所以更無法想象兩個點的距離如何計算。
2. 投影法
想要在三維空間中去想象四維空間，必須得能夠在三維空間表示出四維空間。而我們的屏幕又只是一個平面，也就是二維空間，想要在這篇文章中解釋清楚四維空間，難度更加升級，也就是需要一個二維平面表示出四維物體。
我們先來看下面這個圖
立方體
大家很容易的可以看出，這是一個立方體，但問題是這是畫在一個二維平面上，爲什麽看到的人可以想象出這是一個三維立方體呢？
如果想要在二維平面上表示出三維物體，必須得有一個從三維到二維的映射關系，而這個映射關系如果類似于眼睛的效果，我們的大腦就能夠通過二維平面的圖形還原出三維物體。
這是因爲眼睛的機理就是將現實中的三維空間投射到視網膜上，這裏其實就是三維空間到二維空間的映射，大腦經過長期的進化，可以將二維圖像還原成現實中三維空間物體的大小，遠近。所以，如果在二維平面上按照視覺效果繪制出來，大腦是可以輕易的將它還原成三維物體的。這也就是我們可以通過上圖輕易的想象出一個立方體的原因。
而這裏的映射關系我們又叫做投影。
但映射有很多種，很多文章或者視頻在介紹四維投影的時候都簡單的提了”投影“，但如果不能理解到底是哪一種投影，就無法根據二維平面上的投影去想象出四維物體。
比如下圖就是一種”球極投影“，假設球體是透明的，在球的北極放置一個投影點，讓光源向平面發光，這樣就可以在平面上看到除北極點之外球面上所有點的投影了。
球極投影
球極投影也是一種投影，但這種投影是一種純數學運算，我們大腦無法直接的將它還原成三維空間的形狀。比如我們將上圖的球滾動起來，請試著看看你是否能夠根據二維平面上的投影想象出三維球體表面？好像很困難吧，因爲生活中基本不需要這種變換，所以我們的大腦也沒有這方面的進化，這需要較高的空間想象能力和專門的訓練。
所以我們在看到二維平面上的圖形時，必須先搞清楚進行的是什麽投影，我們才有可能將它還原回來。于是我們看一下上面這個立方體的全景，看看到底是如何投影在二維平面上的？如下圖。
可以看到，剛才在二維平面上畫的圖形其實可以想象成在三維空間中，有一個可以透光的立方體，一束平行光打在上面，在二維平面上投影出來的圖形。這也叫”正交投影“(Orth. Projection)。正交投影中，遠處的線段和近處的線段如果等長且平行，則投影到二維平面上也是等長且平行的的。
這種投影方式類似于眼睛的效果，但又不完全是。因爲眼睛的視覺效果叫做”透視投影“(Projective Projection)，是一種近大遠小的投影方式。
這時候我們將上面的立方體擺正，如果還采用正交投影的方式，我們會看到一個什麽樣的圖形呢？如下圖，我們只能看到一個正方形。
但如果我們采用”透視投影“的方式，看到的就是近大遠小的效果。
如下圖，我們假設屏幕是X-Y平面，垂直屏幕向外是Z軸，這張圖的視角是在Z軸正上方俯看X-Y平面時立方體的效果圖。仿佛在凝望一個長方體的深淵一樣。
剛才前面提到，”正交投影“類似于眼睛的效果，但又不完全是。因爲”透視投影“會呈現近大遠小，但如果立方體的邊長相對眼睛到物體的距離比較短時，也就是眼睛對于這種遠近的距離可以忽略時，”透視投影“和”正交投影“從視覺效果看就沒有什麽區別了，我們甚至可以用”正交投影“來代替”透視投影“。
這也就是我們即使沒有用眼睛的實際視覺效果”透視投影“，而用”正交投影“，大腦依然可以還原出實際三維物體的原因。
到此，理解了上面”類推法“和”投影法“這兩個工具之後，我們再來嘗試理解四維空間，將會容易很多，我們腦中也要時刻給自己提個問號，我看到的投影到底是什麽投影？
超立方體
爲了理解四維空間，我們可以嘗試想象一下四維空間中最簡單的形狀——超立方體，是什麽樣子的。
四維空間不好想象，運用類推法，我們嘗試從一維升到三維，看看升維的過程中到底發生了什麽？然後再類推出四維空間中的超立方體是什麽樣子。請看下面這個從零維升到三維的動圖。
前面說到，當我們看到一張投影圖時，我們腦子中首先要想這到底是什麽投影？前面提到過，這張圖是三維空間到二維空間的一個正交投影。
可以看到，從二維升到三維的過程中，其實就是無數個二維平面堆積出來的。我們也可以這樣理解，在第三個維度中，平行放置兩個二維平面，然後將兩個二維平面的四個頂點兩兩連接起來，就構成了三維空間中的立方體。那類推一下四維空間，我們是不是可以這樣想象，在第四個維度上，平行放置兩個三維立方體，然後將兩個立方體的8個頂點兩兩連接起來，就構成了四維空間中的超立方體。如下圖
我們還要再強調一下，我們在屏幕上看到的這個超立方體是什麽投影呢？首先，是將四維空間正交投影到三維空間，然後再將三維空間正交投影到二維空間。
我們知道，三維空間中的立方體是由6個二維平面組合而成，那麽四維空間中的超立方體由幾個立方體組成呢？由于上圖中正交投影連線中交叉點太多，在數立方體的時候非常不直觀，在實際中，我們經常會換另外一種視圖進行觀察。
前面我們介紹過立方體的透視投影視圖，也就是在第三個維度Z俯看X-Y平面時的透視效果。如下圖，重新copy一遍。
運用類推法，如果我們在第四個維度W俯瞰X-Y-Z空間時得透視投影視圖是什麽樣子的呢？如下圖。
和將三維空間透視投影到二維平面一樣，上圖是四維空間透視投影到三維空間，然後再由三維空間正交投影到二維平面。有一點繞，但事實確實是這樣的，兩次投影的方式不一樣。
從這個視圖看，我們能容易的看到共有8個立方體胞。所以，超立方體又叫做”正八胞體“。注意到，四維空間的立方體經過投影到三維空間以後，不一定是標准立方體了。就和我們在二維空間看立方體表面一樣，雖然在三維空間立方體的六個表面都是標准正方形，但經過正交投影以後，可能已經發生變形，這和四維空間投影到三維空間是一個道理。
于是我們可以補充上面那張升維的那張動圖，看看從零維升到四維的視圖是什麽樣子的。
到這裏，我們看到的是四維空間首先一次投影到三維空間，再二次投影到二維平面上展現出來的形狀。這個過程中，維度損失了兩維，我們看到的也都只是四維物體基于某個特定視角的投影，可以說是管中窺豹。想通過想象還原回四維空間還是非常困難的。那我們如何通過三維空間的直觀感受去想象四維空間呢？
二維紙片人
坦白說，任何能在紙面上呈現出來的四維空間，都不是真正的四維空間。四維空間中的第四維需要垂直于三維空間中的X-Y-Z，而生活在三維空間的人類根本找不到一個方向可以同時垂直于X-Y-Z，這也是人類爲什麽想象不出四維空間的原因。就如同生活在二維平面的紙片人，無法想象到會有垂直于紙片的一個方向正在以上帝視角俯瞰他。
前面說了，三維空間其實是無數個二維平面堆疊而成，處在二維平面的紙片人如果想要理解三維空間，就必須有能力穿越無數個平行的二維空間，然後看三維物體在每一個二維平面留下來的投影，通過留在每個二維平面上的投影來想象出三維物體，這是一個穿越空間的過程。當然，紙片人也可以待在屬于自己的二維平面不動，讓三維物體穿越紙片人所在的二維平面，穿越時留下的動態痕迹可以幫助紙片人想象出三維物體。
如果我們作爲紙片人，如果可以通過二維平面上的輪廓想象出三維物體，那是不是就有可能通過四維物體留在三維空間中的輪廓來想象出四維物體呢？所以，作爲三維世界的我們或許只能以這種方式去理解四維世界。
于是還是運用類推法，假設有一個紙片人生活在二維世界，有個三維立方體在空間中運動，穿越過我們紙片人所在的二維世界，三維物體與其相交的橫截面會留在二維世界中。紙片人能做的，只能是通過二維平面的投影或者橫截面來想象出三維物體的形狀。我們來看下圖。
圖中右側三維立方體穿過二維平面，左側是穿越二維平面時橫截面留下的輪廓。這時候紙片人會看到一個輪廓忽大忽小，從三角形變成多邊形，憑空出現又憑空消失。
作爲上帝視角的我們如果只觀察到左側二維圖形的變化，可以想象到穿越二維平面的三維物體的形狀嗎？至少我感覺還是十分困難的，但有幸的這種穿越方式我們可以通過數學運算精確的算出三維物體的形狀。但是對于紙片人來說，想要想象出三維形狀，就非常的燒腦了。
同理，可以想象一下我們在三維空間中吹一個氣球，氣球從小到大，吹到最大的時候再慢慢撒氣，氣球慢慢變小。如果沒有我們的嘴在控制，這個氣球的變化過程其實就是一個四維球體穿越我們所在的三維空間中所留下來的痕迹。
還有一種方式可以幫助紙片人理解三維物體，就是三維物體不能靜止，而是有規律的旋轉，讓三維物體的各個角度都能投影在二維平面，從而讓紙片人觀察到三維物體各個角度的投影，進而想象出三維物體的形狀。
還是采用類推法，我們看看二維紙片人如何通過觀察正交投影想象出三維物體的，如下圖
當立方體的表面和投射表面的夾角越小時，投影出來的四邊形越大；反之亦然。我們貌似可以通過二維平面的輪廓想象出三維物體，那是因爲我們處在上帝視角。對于紙片人來說，幾條連接的四邊形忽大忽小，甚至發生形變，完全超出他的想象的。
然後我們可以看一下超立方體在三維空間的投影，看看我們是否有能力想象出四維物體的形狀？
可以看到，這時超立方體也就是正八胞體，它的每一個胞的三維形狀都在變化，通過類比二維平面，我們可以得出當超立方體的一個立方體”表面“和投射的三維”表面“夾角變化時，投射出來的立方體體積也會發生變化。
爲什麽這裏我只說了變化，沒有說變大或變小。因爲前面已經說過，腦中要時刻清醒看到的是什麽投影。這裏的超立方體首先進行的是四維到三維的透視投影，和三維立方體到二維平面的正交投影不同，是會呈現近大遠小的效果的。也就是說有這麽一種可能，雖然夾角小，但是離觀察者的距離足夠遠時，這時大小會互相抵消，就需要看哪個影響因子更大了。
這是我處在三維世界的人所能嘗試最大的努力去表示四維空間物體的形狀，因爲我實在找不到一個方向可以同時垂直于我們所處的空間X-Y-Z。我只能通過人類所能理解的三維空間投影去理解四維物體的形狀。但是，有幸的是，我雖然不能想象出四維空間物體的形狀，但是可以通過類推的方式，推出四維空間的一些特征；以及，如果我們人類處在四維空間中，會是一種什麽樣的奇妙體驗。
四維空間
假設我們進入到四維空間，周邊的世界會發生什麽變化呢？
首先，如果不升級我們的大腦，站在第四維俯瞰三維空間時，會看到無數個三維空間堆疊在一起，一定會眩暈嘔吐，需要提前准備好防眩暈的藥。我們的家門上鎖已經沒有任何作用了，保險箱在四維空間中也暴露無遺。在四維空間中，封閉的三維物體如同一幅畫一樣，是不分內外的，完全暴露在四維空間中。我們可以通過調整第四維坐標，輕易的穿越三維空間的各個地方；穿牆術不再是魔術，我們可以沿著第四維輕輕一跳，就穿越了一堵牆。所以，房子得升級，保險箱也得換。要麽不要用保險箱，要麽購買一個四維保險箱吧。星際旅行將成爲可能。由于光速的限制，我們如果想實現星際旅行，可能需要成千上萬年，那是因爲我們是在三維空間中考慮問題。試想，一個螞蟻要從一張紙的一頭爬到另外一頭可能需要很長時間，但是如果我們把紙對折，讓兩個頂點重合，那麽螞蟻就可以在第三個維度瞬間到達另一端。在四維空間中也同理，我們可以把三維空間在第四維進行對折，通過第四維瞬間達到另外一端。我們把這個又叫做蟲洞。但上面的所有都需要有一個前提，人類到了四維空間需要自動升級成四維物種。否則，如果還是一個三維人的話，我們是否還會繼續活著？我們的內髒就會完全暴露在四維空間中，失去了基本的保護。不用說高維生物會不會來摧毀我們，就是四維空間中的塵埃，石子都會輕易的擊中我們的肌肉、內髒和骨骼，讓我們無法生存。在這個問題上，我不敢妄加斷言。
最後，這篇文章並不能夠幫助你想象出四維空間中物體的形狀，事實上，這也是不可能的。前面已經多次提到，我們無法找到一個坐標軸，同時垂直于我們生活的X-Y-Z空間。而只是通過類推法和投影法，假設在四維空間中有一束光線能夠打在四維物體上，最後投射到三維空間中呈現出來的樣子，由此來理解四維空間所表現出來的低維特征。
這就好比我們一直在探求真理，但在嚴格意義上的真理是不可得到的，我們看到的都只是真理的外在表現。