作者：黃文政、梁建章
一、新型冠狀病毒肺炎
近日，新型冠狀病毒肺炎成爲社會關注的焦點。截止1月24日1時，全國確診感染人數已經上升到830例，其中湖北占了絕大多數。迄今爲止，累計死亡25例。疫情引起了社會的普遍擔憂，一定程度上重現了2003年“非典”肆虐的氛圍。特別是，疫情發生在春節前夕，更讓人們擔憂節假日期間人員的大規模流動和頻繁互動會讓疫情雪上加霜。
針對這一狀況，我國領導人在1月20日強調，要堅決遏制疫情蔓延勢頭。國家衛生健康委員會也在22日晚發布《新型冠狀病毒感染的肺炎防控方案(第二版)》，提出了九項控制和防治措施。而原發地武漢更是從23日10時起，采取暫時性措施，停止城市公交、地鐵、輪渡和長途客運的運營，關閉機場、火車站的離漢通道，並要求市民在非必要的情況下不要離開武漢。
與此同時，在全國很多地方，公衆主動減少出行，避免接觸流密集人流。在地鐵、商場等公共場所，佩戴口罩的比例越來越高，在北京很多公共場所，目測比例已超過80%。
那麽，這種如臨大敵的防控措施是否真的必要？如果必要的話，公衆是否需要因此恐慌。如果不需要恐慌的話，那改變出行計劃，出門佩戴口罩、回家勤洗手是否又是小題大做呢？這幾天，社交媒體的一個熱門話題就是如何說服父母出門佩戴口罩，並少去人多的地方。
爲了回答這些問題，我們可以簡單分析一下傳染疾病的傳播機制。比如，爲何傳染病有時候會突然爆發，然後又突然消減？如何用簡潔明了的方法來刻畫這個過程，並據此討論各種措施對傳播過程的影響，評估風險，或者利用已有的信息來了解當下的疫情，甚至預測疫情的未來變化？
二、如何刻畫疾病傳染過程
簡單來說，影響疾病感染過程的核心因素是，一個感染者在可傳染期間平均的感染人數。可傳染期從感染開始時算起，到傳染性消失時結束。傳染性消失可以是治愈，被隔離或者去世等原因，致使感染者不再具有傳染性。我們以m表示一個感染者在傳染期期間接觸的總人數，以p表示該患者接觸他人時把疾病傳給對方的概率。那麽，在整個可傳染期間，這個病人平均感染的人數就是r = m*p，我們稱之爲感染倍乘系數。
需要指出的是，在考察感染倍乘系數r時，並不需要假設m和p是固定的。如果以T來表示某個病人傳染期的時間單位數，以m(t)和p(t)，t=1，2，…，T，分別表示第t個時間區間內接觸人數和傳染概率，那麽該病人感染的倍乘數r，就可表示爲m*p 在時間上的累計，即m(1)*p(1) + m(2)*p(2) +…+m(T)*p(T)。這種表達方式只是讓我們更好地理解不同因素對倍乘系數r的影響，並不意味著在分析中我們需要知道m和p的具體數值。
盡管每個病人在傳染期間會感染的人數各不相同，但爲了抓住傳染機制的關鍵因素，我們不妨假設每個人的感染被乘系數是固定的；如果每人的感染系數各不相同，那麽r可以被解釋爲個人感染系數在某種意義上的平均。以N表示初始感染人數，那麽在K個傳染周期之後，感染人數就變爲：
N*(1+r+r^2+…r^K) = N*(r^(K+1)-1)/(r-1)。
這個公式作爲傳染人數的大致估算，甚至不需要假設K爲整數。當然，更精確的計算需要減去重複感染人數，但因爲感染人數相對于潛在被感染人群的比例不會太大，所以忽略重複感染對結果影響很小，而且這種忽略只會放大而不是誇大被感染人數。這相當于對傳染規模的估算采用了保守原則。
根據上述公式，如果傳染倍乘系數大于1，那麽感染人數會加速增加，這對應于疾病處于爆發狀態；但如小于1，那麽感染人數雖然也會不斷增加，但卻不會無限增加，而是最終收斂于N/(1-r)。因此，遏制疾病傳播最重要的措施是把傳染倍乘系數控制在零界點1以下。
據此，我們可以審視和評估各種防控措施的效果。首先，隔離感染或者疑似病例，是在縮減T；減少出行次數，特別是避免出現在人流密集的場所可以減少接觸人數m；而佩戴口罩和勤洗手是降低接觸的傳染概率p；在重點人群采取更嚴厲的防控措施，則是在有效地降低全社會的平均傳染倍乘數。盡管我們不一定能准確知道m和p的值，但上述分析可以幫助我們使用可比的尺度來衡量和評估不同政策的成效/代價比。
我們也注意到在傳染病動力學中，對疾病傳染機制的研究已經非常深入，其中最爲典型的SIR模型。我們這裏討論的方法應該只是這類模型的特殊情況，但因爲源自對該次疫情的直觀分析，過程簡單明了，也許更容易被讀者理解。針對疾病傳染這樣一個複雜過程，使用動態隨機方程也許能抓住一些確定性模型所體現不了的特征，但我們這裏敘述的簡單的確定性模型，依然可以突出反映決定疾病傳染機制的關鍵性因素；相應的參數具有直觀的平均意義的解釋，有助于我們直觀分析並理解疾病傳染機制。
三、目前的傳染倍乘系數是多少？
疾病處于爆發初期，意味著傳染倍乘系數已經超過1。根據疾病傳染周期長度以及感染人數增幅，則可以大致估算傳染倍乘系數。
根據當地衛健委公布的數據，武漢累計確診病例數到2019年12月31日爲27人，到2020年1月3日爲44人，到1月5日爲59人，到1月20日上升爲258人。根據報道，目前新型冠狀病毒肺炎的潛伏期平均爲7天，最多爲14天。假設在潛伏期結束後，病人出現症狀並視爲疑似病例而被立即隔離，那麽平均傳染期爲7天。
也就是說， 從2019年12月31日到2020年1月20日，一共20天時間，即20/7=2.86個傳染周期，報告的累計感染病例數從27人增長到258人。使用數值方法求解方程(r^(2.86+1)-1)/(r-1) = 258/27，可以得出 r = 1.692。那麽這種方法是否可能低估傳染倍乘系數呢？這可以從幾個因素來思考。
首先，報告人數未必准確。但考慮到1月20日相比于去年年末，衛生機構對病例的重視以及檢測手段的更新，都應該更容易提升患者被報告的概率，所以這段時間裏，累計病例數的實際增長倍數應該不會高于報告增長倍數。在此意義上，使用報告病例增長倍數應該是高估而非低估傳染倍乘系數r。
其次，上述估算中假設自去年年末以來，傳染倍乘系數是固定的，但由于政策和輿論的影響，官方和市民的防護措施會隨時間加強的，所以可以合理假設傳染倍乘系數隨時間在降低。那麽，在假設倍乘系數恒定的條件下來估算，應該也是高估，而非低估當下的傳染倍乘系數。
第三，感染者的傳染期不止包括潛伏者，也包括症狀出現後的患病期，而且在症狀出現後傳染的概率甚至會增大。因此，我們以7天潛伏期來代替整個傳染周期，會降低20天內的感染周期數K，從而低估倍乘系數。但我們真正關心的並不是疾病爆發初期的傳染倍乘系數，而是在控制以後倍乘系數的變化。由于目前感染者潛伏期過後出現症狀，一般會判斷爲疑似病例而被隔離。因此，以潛伏期來作爲傳染周期長度，適合于估算在采用嚴格防控手段以後的感染倍乘系數。
最後，上述估算只使用了2019年12月31日和2020年1月20日的數據。實際上，使用這兩個時間點之間的有效數據得出的對倍乘系數r的估值會更小一些。而在1月20日之後，我們只見到湖北省的數據，卻沒見到單獨有關武漢的數據。再者，在1月20日之後，由于重視程度突然提升可能大幅增加感染者被報告的概率，降低之後數據與之前數據缺乏可比性。因此，使用1月20日和之前的數據雖然也會高估傳染倍乘系數r，但也不至于高估太多。盡管根據保守原則，我們甯願高估而非低估傳染倍乘系數，但太過高估並不可取。
如果病例數據報告方式一直穩定，那麽即使數據中存在系統偏差，報告病例數在不同時間也是可比的，所以依然可以使用病例數隨時間的變化幅度來合理地估算傳染倍乘系數。我們目前的估算只使用了兩個數據點，估算結果的置信程度偏低。如果使用更多時間點的數據，可以對感染現狀得到更高置信水平的估算，也可以對其趨勢做出適當的推測。但遺憾的是，在這次疫情的控制方面，武漢市的應對措施大起大落，市衛健委公布甚至自相矛盾。比如，累計病例數在1月10日降爲爲41例，比1月5日的59例還少，而且這個41的病例數一直維持到1月15日都未予更新。這些不專業的做法人爲增添了了解疫情的困難。
四、爲何各種防護措施是必要的？
從上述推算，我們可以清楚看到，爲何各種防護措施對阻斷疾病感染至關重要。假設減少出行把單位時間接觸人數降低30%，再假設佩戴口罩，把每次接觸感染的概率降低30%，勤洗手把感染概率再降低10%，那麽這三個防護措施結合起來就可能把傳染倍乘系數降到原來的44.1%。如果目前的實際倍乘系數是前面估算的1.692，那麽按前面的假設，普遍采取上述防護措施就也許就可以把倍乘系數降到0.75（即1.692*0.441）以下，而低于疾病失控的臨界值1。
可以說，倍乘系數在臨界值1附近是一個生死攸關的狀態。公衆普遍采取一個很小的防護措施，很可能就會把倍乘系數從疫從臨界值以上的失控狀態，拉到臨界值以下的可控狀態。
從這個角度來看，真正決定疫情演化的，與其說是感染人數，不如說是倍乘系數能否被穩定控制在臨界值1以下。理論上來說，只要倍乘系數低于臨界值1，那麽感染人數會收斂，而疾病傳播最終也會停止。這也意味著，要控制傳染病的傳播，必須斬草除根。哪怕只剩下一人擁有感染性，只要社會回歸常態，傳染倍乘系數就可能回升到臨界點以上，一個感染源就有可能再次引發疫情爆發。
此外，即使能夠確定把倍乘系數控制在臨界值1以下，那也不意味著防控政策就萬事大吉了。姑且不說任何一個感染病例對感染者來說都是人生的不幸，就是最終感染人數也直接取決于倍乘系數的大小。根據前面的公式，如果倍乘系數r小于1，那麽累計感染人數將手鏈于N/(1-r)，這裏N是初始感染人數。
因此。如果 r = 0.75，那麽最終累計感染人數，就是初始感染人數的4倍。如果采取進一步措施，把r從0.75降到0.5，那麽最終累計感染人數就會下降到2*N。從控制疾病的宏觀視角來看，公衆是否普遍減少出行，出門是否佩戴口罩這些細微的行爲變化，不僅關乎疾病能否被遏制，也直接影響到多少人可以被拯救。因此，大家共同采納這些防護措施，絕不是驚慌失措的小題大做，而是應對公共危機時群體智慧的突出體現。
五、爲何沒有必要恐慌？
既然目前無論是官方還是公衆采取的各種防護措施都是如此重要，那麽個人是否有必要誠惶誠恐呢？其實，只要病例報告的概率不隨時間下降，那麽根據前面的討論，一個感染周期內報告病例數增長幅度就大致等于傳染倍乘系數。爲保守起見，我們假設一個感染周期是14天而非7天，那麽如果報告病例數在14天內增幅低于一倍，那基本可以推測傳染倍乘系數已經被控制在臨界值1以內，疫情的蔓延得到遏制。
此外，由已知感染人數，以及估算的傳染倍乘系數，我們可以大致推算出最終感染人數。根據這個感染人數和死亡率，可以進一步估算整個疾病感染期間的平均死亡風險。基于目前公布的數據，這個風險雖然不能掉以輕心，但確實也沒有必要誠惶誠恐。
爲了說明這點，我們不妨假想一個特別悲觀的情形來估算相應的風險。需要強調的是，這個假想並非我們對疫情的判斷，而是純粹爲了演示風險估算過程，而采用的可能誇張的設定。在此，我們假想在疫情得到遏制之前，也就是傳染倍乘系數降到臨界值1以前，不幸有3萬人感染，再假設之後強力的措施將倍乘系數控制在0.8以下，那麽最終感染的人數爲12萬。如果該病死亡率爲5%，最終死亡人數則是6000人。
毫無疑問，6000人死亡是一個巨大的悲劇，對于不幸遭遇劫難的個人和家庭來說，更是天崩地裂。但從社會整體角度來說，這所對應的風險真的沒有必要引起恐慌。實際上，中國在2018年因交通事故死亡的人數就有63194人，因此1500人死亡大概相當于1個月內的交通事故平均死亡人數。也就是說，疾病的整個感染過程給一個普通人帶來的死亡風險，大致只相當于一個月裏使用交通工具所帶來的風險。如果一個普通人不會因爲懼怕這個風險，每年選擇一個月拒絕乘坐任何交通工具，那麽他或她也沒有必要因爲新型冠狀病毒的疫情而誠惶誠恐。
不過，需要特別強調的是，雖然目前看來，這次疫情帶來的風險不是人們需要恐慌的理由，但這絕不是說因爲感染乃至死亡的概率不大，人們就可以掉以輕心。疾病感染與交通事故之間存在一個本質上的不同。具體來說，交通事故風險的增加所具有的傳遞性有限；司機不系安全帶，除了主要是增加自己在事故發生時的死亡概率，最多也只是增加乘客、行人或者遇撞車輛中人員的死亡風險。而如我們本文所分析，人們是否普遍佩戴口罩不只是會降低自己感染別人或者被別人感染的概率，更是在整體上決定傳染倍乘系數是否能夠控制在臨界點以下。一旦倍乘系數跨過臨界點，疾病的傳染就會進入連鎖反應狀態而大規模爆發。
因此，采取各種防護措施既保護自己和家人，也是爲社會盡一份責任。理解了這點，在疫情蔓延期間，我們就應該把減少外出、出門佩戴口罩等防護措施，視爲像上車就系安全帶一樣的自然的行爲，而非驚慌失措下的過度反應。反之，如果我們這篇文章，讓讀者相信感染風險不大，從而放松警惕，甚至放棄本來會一直采用的防護措施，那就完全違背了本文初衷。
當然，我們真正希望的是，讀者既不會因爲陷入恐慌和焦慮而影響正常生活，又能夠采取在交流的情緒反映中會采取各種防護措施。我們也相信仔細閱讀並理解本文的讀者能夠做到這點。
此外，本文只是基于私下探討而對疾病傳染過程所做一個粗略的數學描述和分析，與其說是對疫情的專業性判斷，不如說是提供一個可資參考的角度。特別是由于對新型冠狀病毒肺炎缺乏專業了解，也沒有更詳盡的數據，我們無法確保本文推斷的可靠性。在這方面，我們希望讀者更多依靠專業的研究和討論。
盡管目前的疫情不容樂觀，但我們相信在政府和全民的共同努力下，新型冠狀病毒肺炎的疫情在全國乃至武漢一定會像2003年的“非典”一樣得到完全遏制，中國社會在不久的將來就能完全恢複常態。過去的“非典”也好，這次新型冠狀病毒肺炎也好，不管多麽來勢洶洶，只要決策到位，應對適當就能得到妥善解決，其對社會造成的創傷假以時日就能夠很好地痊愈。
相比而言，無論是對個人還是民族，真正可怕的不是這種突如其來的危難，而是長時間持續的慢性痼疾。在這方面，中國面臨的最爲重大的挑戰，就是過去七八年來我們持之以恒所強調的超低生育率危機。長遠來看，這個危機對中國民衆未來的福祉、中國經濟和社會和中華文明的影響至少萬倍乃至十萬倍于新型冠狀病毒肺炎的影響。我們也衷心希望並相信決策層審時度勢，盡快全面放開並大力鼓勵生育，力挽狂瀾，扭轉超低生育率趨勢，確保中華民族有一個健康、富強、繁榮和光明的未來。如我們之前多次所強調的那樣，我們這個時代在華夏曆史上的地位將取決于我們在人口問題上的抉擇。
（本文作者感謝21世紀經濟報道編輯李靖雲在微信群裏激發的有關這次疫情的討論。沒有李靖雲的激勵和倡導，就不會有這篇文章中的分析和探討。）