《數學面前，人人平等：數學爲何能讓世界更美好》，[加]約翰·麥頓著，柒線譯，上海社會科學院出版社丨青豆書坊，2022年3月。
每一個社會都受困于一些看不見的問題，因爲它們是隱形的，因此格外難以解決。一個社會有時直到崩潰才能讓阻礙它進步的問題暴露出來，而這一過程可能需要數個世紀之久。
古希臘人曾是非凡的創新者。他們建立了首個民主政治，取得了數量驚人的數學與科學突破。然而這個偉大的進步社會被他們自己看不見的潛在問題妨礙了。即使是公元前400年最開明的思想家，也依然相信女人比男人低等，而奴隸制對于奴隸和奴隸主一樣是好的。相當令人寒心的是，亞裏士多德寫道：有些人天生是主人，而另一些人僅僅適合充當“活著的工具”。古希臘人無法解決他們時代最嚴重的問題，因爲他們無法設想一種更加公平的社會。
在創造公平競爭的環境方面，旨在給每個人公平機會的法律與憲法，只取得了部分成功。這是因爲，我們社會中最嚴重的差異並非單純是法律或政治上的不平等造成的，而是某種更微妙、更普遍的不平等形式導致的，這種不平等很難被看見。這種不平等似乎是社會與政治力量或資本主義缺陷的副産品，但我相信它主要是由于我們對人類潛能的無知而造成的。
在發達世界，這種不平等對富人子女的影響和對窮人子女的影響可能同樣大（雖然財富的確能幫助緩和其後果）。在許多方面，它都是其他不平等現象的根本原因。我把這種不平等稱爲“智力不平等”，而且我認爲它可以被輕易根除，特別是在科學與數學領域。
電影《知無涯者》（2015）劇照。
很多人相信數學本來就是困難的科目
過去20年來，認知科學的研究已經極大改變了科學家看待大腦的方式。研究者發現我們的大腦具有可塑性，在一生的任意階段都可以學習和發展。與此同時，不斷增長的證據顯示，絕大多數兒童生來就具有學習任何事物的潛能，特別是當他們被有效的方法教育時。一系列心理學研究指出，專家是學成的而不是天生的，這些研究訓練人們發展音樂能力（比如絕對音准），或者顯著提高他們的 SAT（美國高中畢業生學術能力水平考試）測試成績（通過訓練讓他們更擅長看出類比），這些能力曾被視爲是天生的。
菲利普·E·羅斯（Philip E. Ross）在《科學美國人》（Scientific American）發表的《專家思維 》（“The Expert Mind”）的研究調查中指出，這些研究結果對教育有著深遠的意義。羅斯寫道：與其不斷質問“爲什麽強尼無法閱讀”，也許教育者更應該問，“爲什麽在這個世界上有他不能學會的東西？”
很多人相信數學本來就是困難的科目，只有天生對數字有天賦或早年就展示出數學能力的人才能掌握，但是我將證明數學適合所有年紀的學習者，他們大多都能在其中輕易解鎖自己真正的智力潛能。事實上，如果每一個孩子從上學的第一天起，就能被恰當地因材施教，我敢預言，到5年級時，99%的學生都能像目前1%的頂尖學生那樣學習並喜歡上數學。
當面對與長期所持信念沖突的證據時，人們常常設法無視該證據或進行曲解。心理學家將這種處理沖突的方式稱爲“認知失調”（cognitive dissonance）。長久以來關于人類學習能力的認識，我們的社會其實一直處于極端的認知失調狀態。我記得早在1990年代，我就在報紙上讀到過關于兒童傑出的智力潛能及年長者大腦驚人的可塑性的文章，此後我也讀過很多有關這方面的優秀圖書，包括大衛·申克（David Shenk）的《我們都是天才》（The Genius in All of Us），卡羅爾·德韋克（Carol Dweck）的《終身成長》（Mindset），我在自己的著作《才能的神話》（The Myth of Ability）與《無知的終結》（The End of Ignorance）中也寫過這個議題。
電影《知無涯者》（2015）劇照。
雖然這些研究公開發表已久，但它們的存在卻幾乎沒有改變人們對自己智力能力的看法，以及在家裏、學校或工作場合所受的教育方式，這讓我覺得很奇怪。這似乎表明，正如古希臘人無法想象一個人人生而自由的世界，盡管有這些證據，我們也無法想象這樣一個世界，在這個世界裏，幾乎每個人生來就具有可以學習與喜歡任何科目的潛能——包括看似困難的數學與科學。
智力層級使每個人都不那麽聰明
爲表明我們認知失調狀態的程度，讓我們來舉一個例子。當人們抱怨北美教育中的問題時，常常會說，如果美國和加拿大的學生能在國際閱讀與數學測試中，表現得像取得最高分國家的學生那樣好，這些問題似乎就解決了。像芬蘭、新加坡這些被媒體摘出來作爲擁有優越教育體系的國家，他們的學生在像PISA之類的標准化測試中數學成績更好——PISA（Programme for International Student Assessment），指“國際學生評估測試”，每3年進行一次，來自80個國家的15歲學生們都會參與其中。
這些測試的結果值得仔細檢視，但相比于它們證明教育的好壞，其實它們更多地反映出我們對于孩子及其潛能的信念。從人們談論測試的方式上，你能清楚地看到他們對普通學生的在校成績有著怎樣的期望。
在PISA測試中，數學要得到5級至6級分數的話，需要接受大學的課程；3級或以下的得分則意味著，測試者很難勝任需要大量超過基本數學知識的工作。2015年，僅有6%的美國學生與15%的加拿大學生得分達到5級或6級，相較而言，芬蘭學生有12%達到這個程度，新加坡學生有35%。然而，在芬蘭有大約55%的學生得分在3級或以下，新加坡也有約40%學生的得分在此水平。（美國與加拿大相應的結果分別是79%與62%。）
很多人建議美國教育者，應該找出那些表現最好的國家的數學是怎麽教的，然後就可以在美國施行同樣的教法。我期待這是一個好主意，但我們可能也想探究，在培養出如此優秀的學生的國家，怎麽仍有幾乎半數的人學到的知識如此之少。回答這個問題與模仿其他國家的教育實踐一樣，能幫助我們改進數學教育。
學生在數學成績上的巨大差異似乎是自然的。在每一個國家、每一所學校，僅有小部分學生被期望能愛上數學學習或表現出衆。在我訪問過的不同國家的多所學校裏，我總是看到在小學畢業時，衆多小學生的水平其實落後了兩、三個年級。我的家鄉安大略省，孩子們在國際測試中的表現相當好，而在2018年的省級考試中，只有不到50%的6年級學生達到年級標准。在其他科目上，尤其是科學這門課，總能看到同樣的差異。
在我教導孩子和成人的工作經曆中，我看到了大量證明數學能力極具變化性的證據，教師非常簡單的幹預就能讓成績産生極大的提升。一項由加拿大小學班級參與的案例研究，反映了我們對普通人數學能力的低估程度。該研究首先被《紐約時報》報道，後來被《科學美國人·腦科學》雜志做了專題。2008年秋天，多倫多一位老師瑪麗·簡·莫羅（Mary Jane Moreau）讓她的5年級學生接受了TOMA（Test of Mathematical Abilities，數學能力測試）標准化測試。
下圖顯示了這個班級的測試分數分布。該班的平均分數在第54個百分位1，最低成績在第9百分位2，最高成績在第75百分位。這種分數差異表示，在該班最好的學生與最差的學生之間相差三個年級的跨度。（該班1/5的學生曾被診斷有學習障礙。）
* 根據TOMA（數學能力測試）常模參照的結果而進行的班級百分位數排名。
智力上的不平等，
主要並不是經濟或階層問題
在我的訪談與培訓課程中，我曾調研過數百位5年級老師，他們都報告了各自學生中相似的差異性。這些差異隨著學生的年齡增長還會變得更加顯著。到高中時，許多學生被“分流”到應用性或基礎性課程中，而其他人則努力跟上學術性課程。莫羅的學生們就讀于一家很好的私立學校。他們的測試結果表明，我們在一定程度上已經接受了這些不平等是自然的。即使是最富裕的父母，也樂于將他們的孩子送進那些在個體學生之間制造巨大成績差異的學校，這反映出這種智力上的不平等主要並不是經濟或階層問題。
我在一所地方教師學院做了一場有關JUMP數學課程的演講，在這之後，瑪麗·簡·莫羅介紹了自己，我因此和她相識。她是一位有創新精神的教師，曾在一家名叫“兒童研究所”的實驗學校任教，後來轉到一家私立學校。她對教育研究大有興趣，也喜歡試驗新的教學方法，因此她決定親自來研究JUMP項目。
在對她的學生進行TOMA測試之後，她放棄了自己通常用的方法，即將各種能找到的最好材料拼成課程，而開始嚴格遵循JUMP課程的教學計劃。這意味著教授概念與技巧的步驟比她通常遵循的步驟要少得多，不斷提問與布置練習和活動，以評估學生知道了什麽，經常練習與回顧評估，最重要的是，通過給學生難度遞增的挑戰，讓一個概念建立在另一個概念的基礎之上，來營造學生的興奮感。
經過一年的JUMP教程之後，莫羅讓其已進入6年級的學生重新進行了TOMA測試。學生的平均成績已上升至第98個百分位，而最低成績在第95個百分位。在6年級期末，莫羅整個班都報名參加了“畢達哥拉斯數學競賽”——這是針對6年級學生的久負盛名的競賽。最強的一個學生在競賽當天缺席了，但在參加了競賽的17個學生中，有14人獲得優秀獎，另外3人緊隨其後。參加畢達哥拉斯競賽的學生，一般平時成績都在前5%，而莫羅這個班的學生（起初他們並不引人矚目）獲得的平均成績比參加該競賽所有學生的平均分數都要高。
紀錄片《數學的故事》（2008）劇照。
目前，這僅是一個案例研究。但莫羅的學生們不是外星人，他們的大腦與其他常規班級的學生是一樣的。與此同時，JUMP參與了更大範圍的研究與試驗，結果顯示出孩子有比我們所期望的更大的能力。（有關JUMP試驗結果的綜述，請在jumpmath.org網站選擇“Programs”即項目，再選擇“Research”即研究，進行查閱。）
莫羅班裏最具挑戰難度的那名10歲學生，在僅僅1年之後，她的TOMA成績就從第9個百分位上升到了第95個百分位1。正如10歲的頭腦可塑性已經比更年幼學生小，因此可以合理地推論，假如莫羅的這位學生能夠在更早的時候接受能夠提升能力和思維方式的數學課程，她應該能在5年級時取得更出色的成績。基于我對數以千計孩子的觀察，我相信絕大多數5年級學生（可能多達99%）都能夠做到那些被給予厚望的優秀學生能做到的事情——如果他們一直有像瑪麗·簡這樣的老師的話。
教師可以輕易地創造出
更公平、更有成效的學習環境
我曾到莫羅的班裏上過一堂課。學生們全都對數學充滿興奮，並堅持讓我給他們出越來越難的題目。在某個情境下，他們教了我關于除法類型的某個知識——這個東西我完全忘記了。另一個情境是，在課堂的最後，當我試圖與莫羅交接時，她的學生要求她在離開班級之前出一個額外的題目給他們——她實際上已經將題目寫在黑板上，但忘記將遮擋題目的那張紙拿掉。
我在許多班級裏都見過與此相同的熱烈景象。我看見學生變得對數學如此熱愛，他們請求在課間休息時留下來，好繼續完成他們的作業，或者主動要求額外的暑假作業。有一次我分開兩個打架的學生，所用的辦法甚至是告訴那個挑起事端者：如果他不道歉，我將不會給他附加題。然後他道歉了——爲了一道數學附加題！
電影《知無涯者》（2015）劇照。
很多人認爲，教師總要被迫在幫助更弱的學生跟上進度與允許更強的學生再進一步之間做出艱難的選擇。但是莫羅的試驗結果清楚地顯示，老師不必做此種選擇。在采用JUMP課程之後，學生的TOMA最低分數到達了第95個百分位，比采用JUMP之前的最高分數整整高出20個百分位。難以置信的是，教師可以在幫助初始較弱的學生提升的同時，也能幫助最強的學生盡展其潛能。莫羅班上最強的學生們在5年級的表現比他們以往在校的任何時候都要好，部分原因是整個班級都在進步。
在6年級裏，莫羅的所有學生都迅速通過了6年級的數學課程，並且學習了一半7年級的課程。一些最弱學生的最終表現超過了起初更強的學生。
莫羅能夠如此戲劇性地改變班級成績的鍾形曲線，是因爲她讓所有學生都感到他們能完成大致同樣的事情。在她的教室裏，學生們爭相努力去解決問題，而不是相互攀比。他們沉浸在同伴們的興奮之中，這種興奮幫助他們更深地投入其中，記住他們所學到的，並在面對挑戰時百折不撓。他們被鼓勵去學習，並且愛上學習本身，而不是因爲他們害怕失敗或希望排名超過其他學生。
我相信，減少在學校（及工作場所）的智力不平等狀況，與其他任何我們可能寄望的社會幹預措施相比，都能更多地改善這個世界——這不僅是因爲不公平的學習環境極其不公正，也因爲它們本質上非常低效。這樣的環境對任何學習者都沒有益處——包括那些處于學術層級頂端的人——因爲這種環境會訓練學習者輕易放棄，或者讓他們爲錯誤的理由努力。它會摧毀我們天然的好奇心，讓我們的大腦以最低效的方式運作。而且，它也會阻礙我們培養高效的思維方式。
幸運的是，多個領域的前沿研究指出，在數學這門學科中，教師可以輕易地創造出更公平、更有成效的學習環境——即便是對于年紀更大的學習者來說，也是如此。
本文選自《數學面前，人人平等：數學爲何能讓世界更美好》，較原文有刪節修改，部分小標題爲編者所加。已獲得出版社授權刊發。
原文作者丨[加]約翰·麥頓
摘編丨安也
編輯丨青青子
導語校對丨王心