文 | 區韻（Renee）
少年商學院資深導師
不知道各位家長在輔導孩子學習數學時，會不會遇到以下問題：
孩子升到小學高年級後，數學成績一路下滑，刷題只會加重負擔，孩子産生抗拒心理；
孩子聽老師講解立馬恍然大悟，但自己做的時候永遠找不到思路；
家長陪孩子做應用題，第一時間用X/Y方程求解，但孩子年齡小，講解他又不明白；
孩子覺得數學都是公式數字，很枯燥，提不起興趣。
在小學階段會出現以上問題，往往是因爲從具體事物到抽象思維這關過不好。沒有辦法理解爲什麽這些符號、數字就能夠進行運算？它們是怎麽來的？又爲什麽這麽算？
其實孩子的思維認知發展有著基本的規律。孩子在小學一二年級的時候，首先出現的是非常具體的形象思維。你會看到學習內容上，語文就是認字、識詞、造句，數學就是看著實物數數，加減乘除，都是認識具體事物的方法。
從三年級開始，孩子的思維要開始進入另一個階段，完成從具體的事物到抽象概念、公式的轉變。所以有一些家長會發現，3、4年級的孩子數學成績會突然之間下降，學習進度變慢，而家長也多將此錯誤地歸結爲孩子學習態度出現了問題。
實際上是因爲在具體思維階段沒有做足功課，就讓孩子直接進入充滿抽象的符號、公式的世界，數學就會變成一門看不見摸不著的學科了，他們會迷惑，會有挫敗感，甚至産生厭學情緒，從而形成惡性循環。
因此，如何幫助孩子建立從具體思維到抽象思維過渡的橋梁，就是解決以上問題的關鍵。這就不得不提到新加坡數學的一大利器——「模型圖」方法（Model Method），也就是通過畫圖，能順利地幫助孩子從具體思維階段過渡到抽象思維階段，這也是新加坡在數學教育界稱霸稱王的秘密武器。
圖像化的方式
對中等學生學數學很有幫助
自新加坡提出使用Model Method (模型圖方法)後20年間，新加坡學生的數學成績就經曆了巨大的進步，在國際賽事上也頻頻奪冠。他們的數學教材也已經風靡全球40多個國家，被歐美多個國家大力推廣。
究竟什麽是模型圖法呢？我們不妨舉個簡單的例子感受一下。
A包裝比B包裝多了150g的糖，問要從包裝A中拿出多少到包裝B才使得兩個包裝重量一樣？
如模型所示，多出來的150g需要分一半給包裝B才能使兩個包裝的重量相等。即，150÷2=75g。
這種題目看上去不難，是因爲我們畫了一個簡單的模型圖，將兩個包裝的重量關系以條形圖全面呈現在孩子面前，他會很直觀地知道，爲什麽不需要算出全部重量。
新加坡數學的「模型圖」教學法，是基于著名的認知心理學家傑羅姆·布魯納的「Modes of Representation」（表征理論）認知學習理論發展而來的。
基于這個理論，新加坡發展出來一套適用于新加坡學生的數學CPA教學法。
C – Concrete 具象化
P – Pictorial 形象化
A – Abstract 抽象化
要如何理解CPA的這個過程呢？首先回憶一下我們小時候一開始接觸數學，靠數數來計算不會是直接1、2、3……或者直接就學習1+1=2。老師家長都會告訴我們前面有1個蘋果、2個蘋果；1只烏龜加上另一只烏龜等于兩只烏龜，諸如此類。
總的來說就是通過非常具體的事物，讓我們對數量的增加或者減少有最基礎的認知，這就是C（具象化）。
緊接著，當我們再被問到這個問題的時候，我們腦海裏就會想象出有兩只烏龜放在一起，這就是P（形象化）。
在這之後，我們看到應用題文字的時候“有一只小狗，又來了另一只小狗，一共是多少只小狗“，這時我們在紙上寫下「1+1=2」，這就是A（抽象化）。
實際上，這種從具象到形象再到抽象的學習過程（從C到P到A），我們國內也是有的，比如用線段圖、表格圖來使問題形象化，也就是新加坡解題路徑中的P。
只是新加坡強調P（形象化）是解題的必然路徑，而我們沒有那麽重視這一步驟。
這就會容易讓學生形成兩種極端，一種就是很多人口中說的“牛娃”，本來他的思維發展就比較快，即使不用通過中間的P，也能直接從C到A，我國的數學教育方式對他們來說完全沒有難度，並且也憑著這樣的強化將直接抽象的能力變得越來越熟練。
但另一種是大多數中等學生，從C到A需要一個媒介幫助他們順利過渡。但因爲不經常被訓練如何有效利用P形象化問題，所以如何很好地從具體過渡到抽象這個問題一直得不到解決，也有可能導致成績一蹶不振，從此對數學失去信心。
新加坡數學最大的特點，就是放大了「P形象化」這個過程，這個過程也被稱作是「Model Drawing」。國內多數翻譯成建模，但嚴格來說，這和高等數學建模並不太一樣。我更願意稱爲畫「模型圖」。那麽這種Model Drawing 究竟是如何幫助孩子解決從具象到抽象的問題呢？
畫模型圖可以幫助孩子真正讀懂題目
如何才能讓孩子轉變自己的思考方式，學會用圖像化思維做數學題呢？下面我們來看一道題。
這道題對于剛剛學會分數的孩子可能會很頭暈。搞不清究竟是什麽數量關系，自然也無從下手，家長們也許比較習慣用X求解。但對于還沒接觸到方程的孩子來說，可能會無法理解，家長講解起來也抓狂。
但從模型圖上看，就能很好地理解到今天剩下的60頁就占昨天剩下的2/3，因此就可以得出，60÷（1-1/3）=90頁。這90頁就是昨天剩下的頁數，占到了全部的2/5，因此可得90÷（1-2/5-1/5）=225頁。
可能有的家長會認爲，只要等到孩子學會代數，引入方程就簡單快捷多了，這樣解題不是更複雜化了嗎？完全沒有必要呀。
實際上，畫模型圖可以幫助孩子真正讀懂題目。在畫圖時，孩子心中必須一直要有數量的概念在的，數量間的關系是如何對比，是怎麽增加怎麽減少的，都要做到心中有數，這對培養孩子的數感很有幫助，對題目自然也會理解得很透徹。
同時這種方法更能培養孩子數學思維的系統性。隨著高年級學習，往往一道應用題裏面會藏著多個數學知識點，繪圖的過程會變得非常複雜，需要在C-P-A的三個階段中反複貫穿理解與確認，不能顧此失彼，無疑會很考驗孩子對數學的整體概念，而非管中窺豹。
學好模型圖
可以爲以後更高級的數學奠定基礎
有了模型圖，也能將代數思想形象化，爲之後學習並掌握高階代數打好堅實的基礎。例如下面這道題：
A包裝比B包裝多了150g的糖，如果兩個包裝的總重量是1kg 450g，問包裝B有多少重量的糖？
先用模型圖將題目中未知和已知數量關系畫出來。我們就能基于模型圖進行推導，因此得出結果。不需要假設、也不需要代數。
但是你會發現這道題的 1 Unit 就是我們引入了方程後的X。根據圖示我們可得X+X+150=1450g。
以模型圖來展示，你就更能清晰地知道X是如何和現實進行關聯的，而非在空中樓閣裏理解X，這樣的思想在高年級更複雜的應用題裏會體現得淋漓盡致。
中國孩子在數學的傳統學習上，習慣通過“題海戰術”提高做題的效率和正確率，這當然有一定的成效，但在高年級之後，大量的代數抽象練習並不利于培養孩子對數學的直接感受，從而導致無法將數學真正關聯真實世界，他們才會覺得數學都是數字公式，很枯燥。而新加坡數學教育的理念是，將數學拉回到現實，真正地以數學爲載體，解決真實問題。
事實上，在新加坡的教材中，開始引入X/Y方程的時候，也會用先用模型圖作爲理解輔助。
這會爲孩子未來掌握更高級的代數思想，打下了堅實的基礎。
平常學習多用模型圖
更加便于理解與思考
那麽，中國的孩子應該如何利用好新加坡數學的方法工具呢？
如果你的孩子出現了文章開篇的這些問題，他可能會更適合使用新加坡數學的「模型圖」法。特別是經常需要輔助孩子解答數學應用題的家長。使用模型圖，更直觀具體，孩子也很容易理解。
更重要的是，家長也能從孩子畫模型圖的過程中觀察到他所不理解的地方，從而才能針對性地進行講解與訓練。而不是你講了好幾遍，孩子還是不理解，你也找不到症結在哪裏。
另外，在解答數學題的時候，盡可能讓孩子堅持畫模型圖，當P「形象化」變成自然而然發生的時候，就能內化成一種思維模式，要熟練到甚至沒有畫圖，腦海裏也能出現這樣的關系模型圖，再面對高階的抽象思維的時候，一切都了然于胸。
那麽，在練習模型圖的過程中，是否需要使用原版的新加坡教材呢？我身邊也有少部分家長直接給孩子使用新加坡原版教材練習書，但如果沒有專門的指導老師建議還是謹慎選擇這樣的方式。雖然新加坡的數學體系和國內的數學體系的知識點大致一樣，但教學模塊和節奏還是有所區別的。因此，能結合中國數學的教育大綱進行使用，這對于適合它的學生效果會更好。
少年商學院新推出的《小學應用題學霸特訓-高階綜合版 （3-6年級）》就是加州伯克利數學高材生Evan老師，將新加坡數學「模型圖」思想與國內數學教學體系相結合，做出一套更加適合中國小學生的應用題課程。
目的是希望孩子在小學數學階段，思維能力剛開始有具象化階段進入抽象階段的時候，有這麽一套題目，有一個專業的老師，帶著孩子培養好的數學思維與解題習慣。幫助孩子由淺入深將基礎的數學概念學透，達到舉一反三的效果。現在報名即享早鳥特惠價499元（原價：899）早鳥價優惠僅剩最後三天，VIP會員更享優惠。點擊底部鏈接即可報名！
